Max Planck: Kuliah

Lambang, Makna, Penjelasan Makna dan Contoh penggunaan lambang matematika:

"Sama Dengan"

Menyatakan kesamaan (makna atau nilai) antara pernyataan di sebelah kiri lambang dengan pernyataan disebelah kanan lambang.

Contoh: $\textbf{F}=m\textbf{a}$ , menyatakan ungkapan "besar dan arah gaya F sama dengan besar dan arah ma"

"didefinisika sebagai" atau "berdasarkan definisinya dinyatakan sebagai"

Menyatakan bahwa ungkapan di sebelah kanan lambang merupakan definisi dari ungkapan di sebelah kiri lambang.

Contoh: $\textbf{P}\equiv m\textbf{v}$ , menyatakan ungkapan "momentum linier P didefinisikan sebagai perkalian massa m dengan kecepatan partikel v"

"diungkapkan dalam bentuk" atau "diwakili oleh"
Menyatakan bahwa ungkapan di sebelah kanan lambang merupakan salah satu bentuk tampilan dari ungkapan di sebelah kiri lambang.
Contoh: $\tiny \hat{P_{x}}\doteq -ih\frac{\partial }{\partial x}$ , menyatakan " $-ih\frac{\partial }{\partial x}$ merupakan salah satu bentuk tampilan operator $\hat{P_{x}}$ (yaitu di ruang posisi dalam sistem cartesian)"

"nilainya sekitar" atau "dapat didekati sebagai"
Menyatakan bahwa ungkapan disebelah kanan lambang merupakan nilai penghampiran (pendekatan) dari besaran yang ditulis di sebelah kiri lambang.
Contoh: Untuk x sangat besar maka $\mathbf{e^{x}}-1\approx \mathbf{e^{x}}$ .

"konjugate kompleks"
Menyatakan konjugate kompleks bagi fungsi (bilangan) yang ditulis sebelum tanda *.
Contoh: Jika $z\equiv x+iy$ maka $z^{*}=x-iy$ .

(dua fungsi yang dipisahkan dengan tanda koma dan ditempatkan di dalam kurung biasa)
"perkalian skalar"
Menyatakan perkalian skalar antara fungsi yang ditulis di sebelah kiri tanda koma dengan fungsi yang ditulis di sebelah kanan tanda koma.
Contoh: $\left ( f(x),g(x) \right )\equiv \int f^{*}(x)g(x)dx$ .

(huruf besar bertopi)
"operator"

(dua operator yang dipisahkan dengan tanda koma dan ditempatkan di dalam tanda kurung siku)
"komutator"
Menyatakan komutator yang dibentuk oleh operator yang ditulis di kiri tanda koma dengan operator yang di tulis di kanan tanda koma.
Contoh: $\left [ \hat{A},\hat{B} \right ]$ , komutator yang dibentuk oleh operator $\hat{A}$ dan $\hat{B}$ .

(fungsi atau vektor yang ditempatkan dalam tanda garis tegak di kiri dan kanan)
"nilai mutlak" atau "absolut"
Contoh: $\left | \mathbf{a} \right |$ : modulus ata nilai vektor a. $\left | f(x) \right |$ : nilai mutlak bagi $f(x)$ .

LAMBANG VEKTOR DAN SKALAR

Vektor dilambangkan dengan huruf latin yang ditulis tegak dan tebal. Contoh: p, F, i.
Skalar dilambangkan dengan huruf latin yangdicetak miring, tidak tebal. Contoh: p, F.

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=ab\cos \theta$ , a dan b menyatakan vektor, sedangkan a dan b menyatakan skalar.

Baca Juga: Penurunan Rumus Energi Gas Monoatomik

Lanjut Baca

Assalamu'alaikum Wr. Wb.
Sahabat Fisika yang berbahagia, kalian pasti mengenal energi gas monoatomik dibawah kan..??? hehehe

$E=\frac{3}{2}NKT$

Saya yakin, kita hanya mengenal tanpa pernah membuktikan. Baik untuk kali ini saya akan memposting bagaimana cara kita membuktikan rumus di atas.

Kita sudah mengenal tingkat energi gas monoatomik pada kotak yaitu:

$\large E_{r}=\frac{n^{2}\pi ^{2}\pounds ^{2}}{2mL^{2}}$

Jadi kalau dalam tiga dimensi menjadi,

$\large E_{r}=\frac{\pi ^{2}\pounds ^{2}}{2m}(\frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}+\frac{n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}+\frac{n_{z}^{2}}{L_{z}^{2}})$

Keterangan:

$\large E_{r}=$ Tingkat Energi
$\large \pounds=$ Ketetapan Planck
$\large n=$ Bilangan bulat (1,2,3,.....)
$\large L=$ Panjang sisi kotak
$\large m=$ Masa gas monoatomik

Untuk sampai ke energi gas monoatomik, kita membutuhkan fungsi partisi (Z) yang dituliskan,

$\large Z=\sum_{r}\mathrm{e^{\mathit{-\beta E_{r}}}}$

Atau dalam tiga dimensi,

$\large Z=\sum_{n_{x}n_{y}n_{z}}\mathrm{e^{\mathit{-\beta E_{n_{x}n_{y}n_{z}}}}}$

$\large =\sum_{n_{x}}\sum_{n_{y}}\sum_{n_{z}}\exp \left [ \frac{-\beta \pi ^{2}\pounds ^{2}}{2m}\left ( \frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}+\frac{n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}+\frac{n_{z}^{2}}{L_{z}^{2}} \right ) \right ]=Z_{x}Z_{y}Z_{z}$

Kita ambil fungsi partisi pada sumbu x,

$\large Z_{x}=\sum_{n_{x}}\exp \left [ \frac{-\beta \pi ^{2}\pounds ^{2}}{2m}\left ( \frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}\right ) \right ]$

Kemudian kita integralkan dengan batas ( $\large 0-\infty$ ), sehingga

$\large Z_{x}=\int_{0}^{\infty }\exp \left [ -\beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2m}\left ( \frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}} \right ) \right ]dn_{x}$

$\large =\int_{0}^{\infty }\left ( \frac{1}{\beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2m}\left ( \frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}} \right )} \right )^{\frac{1}{2}}\left ( \beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2m}\left ( \frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}} \right ) \right )^{\frac{1}{2}}\exp \left [ -\beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2m}\left ( \frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}} \right ) \right ]dn_{x}$

Kita ambil keadaan pada tingkat energi $n_{x}=1$ , maka:

$\large Z_{x}=\int_{0}^{\infty }\left ( \frac{1}{\beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2m}\left ( \frac{1^{2}}{L_{x}^{2}} \right )} \right )^{\frac{1}{2}}\left ( \beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2m}\left ( \frac{1^{2}}{L_{x}^{2}} \right ) \right )^{\frac{1}{2}}\exp \left [ -\beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2m}\left ( \frac{1^{2}}{L_{x}^{2}} \right ) \right ]dn_{x}$

$\large =\int_{0}^{\infty }\left ( \frac{1}{\beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2mL_{x}^{2}}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}}\left ( \beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2mL_{x}^{2}}\left \right \right )^{\frac{1}{2}}\exp \left [ -\beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2mL_{x}^{2}}\left \right \right ]dn_{x}$

kita misalkan $\beta \frac{\pi^{2}\pounds^{2}}{2mL_{x}^{2}}=x^{2}$ , maka

$\large Z_{x}=\left ( \frac{2mL_{x}^{2}}{\beta \pi^{2}\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )\int_{0}^{\infty }\left \left ( x^{2}\right )^{\frac{1}{2}}\mathbf{e}^{-x}dn_{x}$

$\large =\left ( \frac{2mL_{x}^{2}}{\beta \pi^{2}\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )\int_{0}^{\infty }x\mathbf{e}^{-x}dn_{x}$

Karena $\int_{0}^{\infty }x\mathbf{e}^{-x}dn_{x}$ adalah fungsi gamma yang nilainya ( $\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$ ), maka,
$\large Z_{x}=\left ( \frac{2mL_{x}^{2}}{\beta \pi^{2}\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$
$\large =\left ( \frac{2mL_{x}^{2}\pi}{4\beta \pi^{2}\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )=\left ( \frac{m}{2\beta \pi\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )L_{x}$
jadi,

$\large Z_{x}=\left ( \frac{m}{2\beta \pi\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )L_{x}$ ,

$\large Z_{y}=\left ( \frac{m}{2\beta \pi\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )L_{y}$

$\large Z_{z}=\left ( \frac{m}{2\beta \pi\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )L_{z}$

Selanjutnya kita cari nilai Z dengan cara:

$\large Z=Z_{x}Z_{y}Z_{z}$

$\large =\left ( \frac{m}{2\beta \pi\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )L_{x}\left ( \frac{m}{2\beta \pi\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )L_{y}\left ( \frac{m}{2\beta \pi\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}} \right )L_{z}$

$\large =\left ( \frac{m}{2\beta \pi\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \right )L_{x}L_{y}L_{z}$

Karena $\large L_{x}L_{y}L_{z}$ =Volume, maka

$\large Z=\left ( \frac{m}{2 \pi\pounds^{2}\left \right } \right )^{\frac{3}{2}} \right )\frac{V}{\beta^{\frac{3}{2}}}$

$\large \ln Z=\frac{3}{2}\ln \left ( \frac{m}{2 \pi\pounds^{2}} \right )+\ln V-\frac{3}{2}\ln\beta$

Dalam fisika statistik, energi rata-rata gas secara umum dinyatakan dengan persamaan,
$\large \overline{E}=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }$
Jadi dengan memasukkan nilai (ln Z ), kita dapatkan,

$\large \overline{E}=-\frac{\partial}{\partial \beta }\left [ \frac{3}{2}\ln\left ( \frac{m}{2 \pi\pounds^{2}} \right )+\ln V-\frac{3}{2}\ln \beta \right ]$
$\large =0+0+\frac{3}{2}\frac{\partial\ln \beta}{\partial \beta }=\frac{3}{2}\frac{1}{\beta }$

Karena $\large \beta =\frac{1}{KT}$ , maka

$\large E=\frac{3}{2}KT$

Bila dalam satu kotak terdapat N Gas monoatomik, maka

$\large E=\frac{3}{2}NKT$

Terbukti kan..???? hehehe

Itulah sedikit uraian tentang pembuktian energi gas monoatomik, semoga bermanfaat...!!!!

Lanjut Baca

Max Planck

Belajar Fisika lewat Internet

Selasa, 09 Juni 2015

Makna dan Penjelasan Lambang Matematika

Kamis, 21 Mei 2015

Energi Gas Monoatomik

Mengenai Saya

Pos Terpopuler

Blogger news

Blogroll

About

Categories

Arsip Blog

Total Tayangan Halaman